Mathématiques de base Exemples

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{y^{2} + 4 y + 3} - \frac{y}{y + 1} + \frac{12}{y + 3}$

Étape 1

Factorisez $y^{2} + 4 y + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $4$ .

$1, 3$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y}{y + 1} + \frac{12}{y + 3}$

Étape 2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{y}{y + 1}$ par $\frac{y + 3}{y + 3}$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - (\frac{y}{y + 1} \cdot \frac{y + 3}{y + 3}) + \frac{12}{y + 3}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{y}{y + 1}$ par $\frac{y + 3}{y + 3}$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y (y + 3)}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{12}{y + 3}$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{12}{y + 3}$ par $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y (y + 3)}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{12}{y + 3} \cdot \frac{y + 1}{y + 1}$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{12}{y + 3}$ par $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y (y + 3)}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{12 (y + 1)}{(y + 3) (y + 1)}$

Étape 2.5

Réorganisez les facteurs de $(y + 3) (y + 1)$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y (y + 3)}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y (y + 3) + 12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y \cdot y - y \cdot 3 + 12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Étape 3.2.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - (y \cdot y) - y \cdot 3 + 12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y^{2} - y \cdot 3 + 12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y^{2} - 3 y + 12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Étape 3.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y^{2} - 3 y + 12 y + 12 \cdot 1}{(y + 1) (y + 3)}$

Étape 3.2.5

Multipliez $12$ par $1$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y^{2} - 3 y + 12 y + 12}{(y + 1) (y + 3)}$

Étape 3.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.3.1

Soustrayez $y^{2}$ de $2 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 9 y - 13 - 3 y + 12 y + 12}{(y + 1) (y + 3)}$

Étape 3.3.2

Soustrayez $3 y$ de $- 9 y$ .

$\frac{y^{2} - 12 y - 13 + 12 y + 12}{(y + 1) (y + 3)}$

Étape 3.3.3

Associez les termes opposés dans $y^{2} - 12 y - 13 + 12 y + 12$ .

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Étape 3.3.3.1

Additionnez $- 12 y$ et $12 y$ .

$\frac{y^{2} + 0 - 13 + 12}{(y + 1) (y + 3)}$

Étape 3.3.3.2

Additionnez $y^{2}$ et $0$ .

$\frac{y^{2} - 13 + 12}{(y + 1) (y + 3)}$

Étape 3.3.4

Additionnez $- 13$ et $12$ .

$\frac{y^{2} - 1}{(y + 1) (y + 3)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{(y + 1) (y + 3)}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y - 1}{y + 3}$